Wiskunde: kans en cultuur

vrijdag 13.45-14.30 uur

Na de tweede wereldoorlog hebben diverse componisten zich aangetrokken gevoeld tot een manier van componeren waarbij het ego van de scheppende kunstenaar geacht wordt buiten spel gezet te zijn. Enerzijds is dit zoeken naar een ego-loze muziek ingegeven door niet-westerse visies op het scheppen van wat wij in het westen Kunst zijn gaan noemen; anderzijds is ook een reactie te bespeuren op de steeds strengere seriële muziek, waarin zoveel mogelijk parameters in de muziek op voorhand worden vastgelegd in ordeningen van diverse aard.
Een van de meest bekende voormannen van de zogenaamde aleatorische muziek of toevalsmuziek was John Cage. Daartegenover stond - zoals gezegd - de strenge regelgeving van de seriële muziek. Cage verkondigde dat het door de `componist' gemanipuleerde toeval - bij hem op basis van de I Tjing - een compositieproces oplevert waarin geluiden in elke denkbare betekenis van het woord bijeengebracht kunnen worden zonder de nadrukkelijke aanwezigheid van de componist zelf.

De Frans-Griekse componist Yannis Xenakis (tevens architect en wiskundige) verwees de wiskundige technieken van de serialisten (de mathematische en niet de ideologische basis achter hun reeksenordeningen) naar kleuterland en vatte de toevalsmuziek, dat wil zeggen toeval in het algemeen, in duidelijke wiskundige formules samen. Dit laatste noemde hij de stochastiek, de waarschijnlijkheidsleer. In navolging van enkele grote wiskundigen (waaronder Bernouilli) bewees Xenakis dat ook het geluid op straat, het ruisen van bladeren en het tsjilpen van de vogels wetmatigheden kent. Dus moet het ook mogelijk zijn de omgekeerde weg te bewandelen en vanuit stochastische formules geluidswolken te scheppen die lijken op toevalligheden.
Wat nu heeft deze boeiende driehoek tussen serialisme, aleatoriek en stochastiek in de tweede helft van de vorige eeuw opgeleverd?

 

vrijdag 16.00-16.45 uur

In vele toepassingen van de wiskunde wordt gewerkt met modellen waarvan de parameters niet met zekerheid bekend zijn. Vroeger kon men volstaan met het kiezen van een `meeste waarschijnlijke waarde' om de parameters vervolgens te behandelen alsof ze met zekerheid bekend waren. Toen dat niet meer ging, werd met een paar `scenario's' gewerkt. Men kiest een `nominale' of `surprise free' scenario, en zet deze vervolgens af tegen `optimistische' en `pessimistische' keuzes van de waarden van de parameters.
De mondige en goed opgeleide probleemeigenaar kan niet meer worden afgepoeierd op deze manier. Hij/zij vraagt simpelweg: `Als de input parameters niet met zekerheid bekend zijn, hoe groot is de onzekerheid, en hoe groot is dan de onzekerheid in het eindresultaat?'
Dit brengt vele wiskundigen in verlegenheid, om twee redenen:

1. ze denken dat het kansbegrip vol zit met valkuilen en dingen die tegen de intuïtie indruisen, en
2. dat is ook zo. Dit merk je niet als je alleen stellingen bewijst en eenvoudige kansmodellen bestudeert. Maar je merkt het wel als je de kansrekening gaat toepassen. En erger nog, de kansrekening bedient zich van termen als `onafhankelijkheid', `verwachting', `correlatie', waarvan de eigenschappen niet overeenkomen met de betekenis van deze woorden in de omgangstaal.

In deze lezing zal ik een aantal voorbeelden laten zien waarin `experts' in de kansrekening uitglijden op `elementaire fouten'. Met een voorbeeld uit de berekening van de betrouwbaarheid van een dijkring, zal ik ook laten zien hoezeer onze `gewone' wiskundige intuïtie misleid kan worden zodra er sprake is van onzekerheid. Anders gezegd: er is stront aan de knikker met het kansbegrip.

 

zaterdag 9.00-9.45 uur

De kansrekening kent een rijke traditie van problemen. Pascal en Fermat wisselden in 1654 een aantal brieven over de kansen in het dobbelspel en over de verdeling van de pot bij het voortijdig afbreken van een kansspel. Huygens hoorde in de zomer van 1655 in Parijs over deze problemen spreken en vond er de inspiratie in voor zijn Van rekeningh in spelen van geluck, dat in 1657 in het Latijn en in 1660 in het Nederlands verscheen. Jakob Bernoulli nam op zijn beurt Huygens' werkje als uitgangspunt voor zijn studie over kansen. In dagboekaantekeningen van 1685 en later werkte Bernoulli de vijf open problemen uit die Huygens, als een soort uitdaging aan de lezer, aan het einde van zijn Rekeningh opgenomen had. Het eerste boek over kansrekening Ars conjectandi (de kunst van het gokken, 1713) van Bernoulli, begint met een herdruk van het werkje van Huygens.
Daarna volgt in het boek de benodigde combinatoriek en vervolgens geeft Bernoulli een groot aantal toepassingen en nieuwe problemen. De Ars conjectandi was de Bijbel van de kansrekenaars in de 18e eeuw (Daniel Bernoulli, De Moivre, Laplace). Voorwaar, een traditie van problemen.
Bovendien waren het problemen waar de uitkomst iets betekende voor degene die eraan werkte. Het ging niet om het uitrekenen van het aantal gunstige uitkomsten gedeeld door het totaal aantal uitkomsten van een experiment, het ging om geld, om de vraag hoe je een weddenschap zo moest inrichten dat je aan het langste eind trok.
Vele problemen komen op u af rollen.

 

zaterdag 10.30-11.15 uur

De kansrekening is in zekere zin een nieuwkomer onder wiskunde-gebieden; een algemeen geaccepteerde axiomatiek werd pas in 1933 opgesteld. Waarom heeft dat zo lang geduurd? Uitgaande van een citaat van Freudenthal: `Het begrip toeval is niet tegenstrijdig, het wordt pas tegenstrijdig als ik probeer het te formaliseren', laten we zien dat er lange tijd onenigheid is geweest over de vraag waar kansrekening nu eigenlijk over ging, en wat dan de precieze eigenschappen van `kans' zijn.
Hierbij zullen we ons concentreren op de periode 1870-1940, een tijd waarin het bouwwerk van de wiskunde opnieuw werd opgetrokken (denk aan axiomatisering, de rol van verzamelingenleer, het intuïtionisme van Brouwer, enz.).
We noemen enkele van de conflicterende intuïties die de axiomatisering van de kansrekening vertraagd hebben. Sommigen meenden dat `kans' als relatieve frequentie geïnterpreteerd moet worden en dus, om het wiskundig exact te maken, als limiet relatieve frequentie in een oneindige rij uitkomsten.
Anderen meenden daarentegen dat het zelftegenstrijdig is het bestaan van een dergelijke limiet te postuleren. Weer anderen meenden dat `kans' een fysische eigenschap van een systeem is, zoiets als massa, en dat daaruit af te leiden is dat relatieve frequenties zich zullen stabiliseren. Al deze opvattingen hebben geleid tot verschillende formaliseringen van kansrekening die enige tijd naast elkaar bestonden, alvorens het pleit beslecht werd door de axiomatisering van Kolmogorov uit 1933. We zullen echter laten zien dat dit formalisme algemene instemming verkreeg doordat het één van bovengenoemde interpretaties van `waarschijnlijkheid' voortrok: namelijk waarschijnlijkheid als fysische eigenschap.