Een ingedikte leerlijn geeft een beschrijving van kenmerkende leermomenten en bijbehorende activiteiten. Hiermee hebben consulenten en leerkrachten (en ouders) overzicht op de cruciale leermomenten voor het rekenen. Dat overzicht helpt bij het maken van keuzes ten aanzien van de leerstof voor langdurig zieke kinderen. De leerlijnen worden gepubliceerd op de internet site Webschool.
Ruim gesteld bedoelen we met een leerlijn een beschrijving van het onderwijs en de leerprocessen die kinderen in grote lijnen voor het vak rekenen-wiskunde op de basisschool doorlopen. Natuurlijk verlopen de leerprocessen complex en bij individuele kinderen vaak weer verschillend, maar toch is het nuttig en mogelijk om globaal lijnen aan te geven die kenmerkend zijn voor het leren van de meeste leerlingen. Bij die leerlijnen horen kerntaken en leerervaringen die als het ware de scharnierpunten (of cruciale leermomenten) in een leerproces vormen, en die in principe van betekenis zijn voor alle leerlingen. De kerntaken zouden die cruciale ervaringen moeten oproepen.
Leerlijnen:
1. Getallen en Getalrelaties
2. Rekenen tot 1000
3. Meten en meetkunde
4. Schattend rekenen
Deze leerlijnbeschrijvingen en de kerntaken zijn gebaseerd op resultaten van de projecten RekenWeb, Speciaal Rekenen en TAL.
Contexten spelen een belangrijk rol in het rekenonderwijs om betekenis te geven aan getallen, om alledaagse kennis van leerlingen te benutten en om het nut en gebruik van getallen in alledaagse situaties te leren. In groep 5 en 6 zijn dit contexten zoals jaartallen, data, dagen per maand, uren per dag, winkelen, sporten en temperaturen. Met deze contexten kunnen leerlingen maatkennis en gevoel voor getallen opbouwen. Het rekenen binnen deze contexten is dan nog niet direct aan de orde. Het gaat vooral om betekenisvol gebruik van getallen en getalrelaties.
Tal tussendoel 1, hele getallen bovenbouw, pagina 20
De getallenlijn is al in groep 4 geïntroduceerd. In groep 5 wordt het springen over en het positioneren van getallen op de getallenlijn verder ontwikkeld. Onder positioneren verstaan we niet alleen het plaatsen van getallen op een getallenlijn, maar ook ordenen en vergelijken. In groep 4 bleef de getallenlijn beperkt tot 100, in groep 5 en 6 krijgt de duizendlijn de volle aandacht.
Hierbij is het belangrijk om de uitdijende getalgebieden met elkaar in verband te brengen. Tot de 100 werd vooral geordend met tientallen, bij de duizendlijn spelen honderdtallen de belangrijkste rol. Metrieke maten kunnen hierbij in verband worden gebracht. Uiteindelijk kan de getallenlijn zelfs worden geschetst tot 100.000 of tot 1 miljoen. De getallenlijn alleen is echter onvoldoende om leerlingen voldoende inzicht in de getallen bij te brengen. Contexten, zoals het rekenen met geld, zijn nodig om leerlingen een gevoel voor de (relatieve) grootte van getallen en positiewaarden te ontwikkelen. Leerlingen moeten uiteindelijk in staat zijn om getalrelaties en redeneringen met de getallenlijn te verbinden met tijd, afstandmaten en geldrekenen.
Tal tussendoel 2, hele getallen bovenbouw, pagina 25
De volgende activiteiten kunnen worden gebruikt om leerlingen te ondersteunen bij het ontwikkelen van inzicht in de getallen tot de 1000 en positiewaarden (in de context van geld).
Contextualiseren en ordenen van getallen op de getallenlijn helpen bij het verkrijgen van inzicht in de getallenrij. Een derde belangrijke activiteit betreft het structureren. Daarbij gaat het erom dat leerlingen getallen steeds meer als knooppunten in een netwerk van getalrelaties gaan zien. Ze ontdekken bijvoorbeeld dat 24 in veel verschillende tafels past en daarmee verschilt van 23 en 25. Een ander voorbeeld betreft het tientallig splitsen van getallen: 123 is gelijk aan 100+20+3. Zo is er een wisselwerking tussen het opereren met getallen en het verkrijgen van inzicht in getallen. In groep 5 blijft een kenmerk als deelbaarheid beperkt tot deelbaar door 2, 5 en 10.
Tal tussendoel 3, hele getallen bovenbouw, pagina 33
Tal tussendoel 4, hele getallen bovenbouw, pagina 34
Een voorbeeld van een opdracht waarin het gaat om het ordenen van getallen is het spelletje Raad mijn getal. In dit spelletje proberen kinderen een nog onbekend getal te achterhalen door vragen te stellen zoals: 'Is het meer (of minder) dan…?.' Met daarbij een ondersteuning middels een getallenlijn die rood maakt waar het getal dus niet zit. Zo help je kinderen bij het zich voorstellen van het inklemmen (en slim vragen).
De volgende activiteiten helpen bij ordenen en positioneren op de getallenlijn:
Onder hoofdrekenen verstaan we het handig rekenen met bekende getalrelaties en rekeneigenschappen. Hierbij mag pen en papier gebruikt worden. Hoofdrekenen is van eminent belang in alledaagse situaties. Maar ook vormt hoofdrekenen de basis voor het vele rekenen in diverse vakgebieden.
In groep 4 was al sprake van twee grondvormen van het rekenen: rijgen en splitsen. Deze twee vormen zie je ook terug bij het hoofdrekenen. Neem bijvoorbeeld de opgave 325 - 249. Bij rijgend rekenen wordt in een optelling of aftrekking het eerste getal intact gelaten en het tweede gesplitst. Dit wordt al of niet in delen (rijgend) aan het eerste getal toegevoegd of ervan afgehaald: eerst 325 - 200 = 125 en dan nog 49 ervan af. Dat laatste kan op verschillende manieren (bijv. eerst 25 en dan nog 24, of eerst 50 eraf en dan 1 erbij).
Bij splitsend rekenen worden beide getallen in een optelling gesplitst in tientallen en eenheden. Zowel de tientallen als de eenheden worden samengenomen. Daarna worden de uitkomsten bij elkaar opgeteld: eerst 300 - 200, dan 20 - 40 en dan 5 eraf 9. Deze laatste berekeningen kunnen problemen geven. Soms worden de getallen omgewisseld om een tekort te voorkomen.
Je ziet ook vaak variaties op deze twee strategieën waarbij handig gebruik wordt gemaakt van kennis van getallen, van relaties tussen getallen en van bewerkingen, zoals aanvullen en compenseren: 325 - 200 = 125, 125 - 50 = 75, 75 + 1 = 76.
Tal tussendoel 1, hele getallen bovenbouw, pagina 43
De volgende activiteiten kunnen worden gebruikt om leerlingen aan te zetten tot hoofdrekenen. Daarbij dient een begeleidend persoon de leerling te ondersteunen bij het reflecteren op en ontwikkelen van hoofdreken-strategieën.
In samenhang met het hoofdrekenen ontwikkelen leerlingen de vaardigheid van het steeds sneller en 'automatischer' oplossen van opgaven uit het gebied van de tafels.
In de loop van groep 5 en in groep 6 komt bij het hoofdrekenen steeds meer de nadruk te liggen op het rekenen tot duizend en daarboven. Het rekenen tot honderd komt nog regelmatig aan de orde, maar dan in de vorm van rekendictees en tempo-oefeningen.
Tal tussendoel 2, hele getallen bovenbouw, pagina 44
Het rekenen met tafels kan worden geoefend met:De leerlijn rond het optellen en aftrekken tot duizend vertoont grote overeenkomsten met het rekenen tot honderd in groep 4. Door de getallenrij tot duizend op te vatten als een uitbreiding van de getallenrij tot honderd leren leerlingen de structuur daarvan doorzien. Zo spelen aanvankelijk het positioneren en springen over de getallenlijn een belangrijke rol bij het verkennen van resultaten van rekenoperaties. Als de getallen voldoende betekenisvol voor de leerlingen zijn, dan volgt weer de drieslag: rijgend, splitsend en varia-rekenen.
Tal tussendoel 3, hele getallen bovenbouw, pagina 46
In groep 5 is specifiek aandacht voor het splitsend rekenen als voorbereiding op het kolomsgewijs optellen. Aanvankelijk wordt volstaan met het kolomsgewijs opereren met driecijferige getallen. Dit vormt de grondslag voor het kolomsgewijs optellen met grotere getallen in groep 6.
Kenmerkend voor het kolomsgewijs optellen is dat leerlingen de verticaal genoteerde tussenuitkomsten van een opgave als 569 + 78 vlot uit het hoofd kunnen samenvoegen via 500 + 130 + 17.
Overigens zullen de leerlingen in de hoogste leerjaren bij complexere opgaven niet meer kolomsgewijs optellen maar cijferend optellen, nadat zij dit algoritme in de loop van groep 6 hebben geleerd.
Kolomsgewijs rekenen heeft kenmerken van zowel hoofdrekenen als van cijferen. Zo wordt, net als bij het hoofdrekenen, rekening gehouden met de positiewaarden in een getal; 743 wordt gezien als 700 + 40 + 3 (en niet als een 7, een 4 en een 3 zoals bij cijferen). En wanneer een getal decimaal is opgesplitst in honderdjes, tienen en enen begint het rekenen bij de grootste waarde.
Bij het cijferen wordt juist van rechts naar links gewerkt. De waarde van een positie in een getal telt dan niet mee. Kolomsgewijs rekenen heeft wel met het cijferen gemeen dat het een gestandaardiseerde rekenvorm is.
Barney is een spelletje 'pijltjes gooien', misschien heb je dat ook wel eens gedaan.
'Darten' noemen ze dat in het Engels. Sinds onze eigen Raymond Barneveld wereldkampioen darten werd
is deze sport heel populair. Dit jaar werd hij al snel uitgeschakeld, maar het spelletje blijft leuk.
We hebben hier een computerspelletje van gemaakt. Probeer het maar eens,
maar lees eerst wat je moet doen en wat de spelregels zijn.
Je speelt in tweetallen.
Vul eerst allebei om de beurt je naam in.
Beide spelers starten met 501 punten. Het gaat erom wie het eerst bij 0 is.
Maar: je laatste worp moet wel een double of een bullseye (doublebull) zijn.
Speler 1 mag beginnen met mikken op het dartboard. De computer meldt wat je hebt gegooid.
Jij moet nu deze punten aftrekken van je huidige score en invullen op de computer.
Let op: als je antwoord fout is gaat je beurt voorbij!
Hierna is speler 2 aan de beurt.
Als de muiscursor boven het dartbord verschijnt
kun je een pijltje gooien door met je muis te klikken.
Maar let op, hij komt niet precies aan waar je mikt!
Dit programma is een eenvoudig spel voor het oefenen van de tafels onder de tien.
Het beheersen van de tafels onder de tien wordt vaak onvoldoende onderhouden. Dit programma is bedoeld om leerlingen vaardigheid te laten ontwikkelen bij het herkennen van een juiste vermenigvuldiging en bij het "heen en weer" denken tussen de vermenigvuldiging en het antwoord.
Door het spel kunnen ze ook een beeld opbouwen van het speelveld (het honderdvel). Waar zitten de grote getallen, waar de kleine getallen, waar de kwadraten?
Gevarieerde strategieen bij keersommen kunnen worden geoefend met de computeractiviteit Kikker. Deze activiteit staat bij de leerlijn vermenigvuldigen van groep 4. Daar kunnen ook sommen als 3x50 aan bod komen.
In groep 4 zijn grootheden als lengte, inhoud, gewicht en tijd verkend. Daarbij zijn maateenheden en meetinstrumenten als de liniaal aan de orde geweest. Kinderen kennen de standaardmaten (meter, liter, kilo, minuut), kunnen in eenvoudige situaties de bijbehorende meetinstrumenten hanteren en zijn in staat om schattend objecten te ordenen naar zo'n maat.
Bovendien komen kinderen in groep 4 in aanraking met vlakke en ruimtelijke meetkundige figuren. Ze hebben ervaring opgedaan met spiegelen, plattegronden en routes, en meetkundige kenmerken als regelmaat en symmetrie.
In groep 5 worden de grootheden voor het meten verder verkend. Onderwerpen daarbij zijn het kiezen van een geschikte maateenheid, schatten en afronden. Deze meetactiviteiten kunnen plaatsvinden in bredere thema's waar ook de getalverkenning, het rekenen tot 1000 en het tekenen van grafieken aan de orde kunnen komen.
De activiteit Dieren wegen ondersteunt kinderen bij de samenhang tussen gram en kilogram als grootheden voor gewicht. Voorbeelden van activiteiten rond de grootheid lengte zijn het bepalen van de hoogte van het (zieken)huis, de afstand van thuis naar grootouders, de hoogte van de Domtoren in Utrecht, de lengte van een tuin, etcetera.
De klok uit de leerlijn voor groep 4, kan nogmaals worden ingezet om kinderen in meer detail het klokkijken te leren en voor een eerste verkenning van digitale tijden.
Meetkundige kenmerken zoals hoeken, spiegelen en symmetrie komen aan de orde in de activiteiten Minigolf en Robot. Daarnaast kunnen activiteiten van groep 4 zeker nog een keer aan bod komen om meetkundige inzichten te onderhouden en verder te ontwikkelen. Vandaar dat we hier ook computeractiviteiten van groep 4 opnemen: Bouwen met blokken en Tangram.
Naast deze activiteiten worden in groep 5 plattegronden en landkaarten verkend. Laat kinderen bijvoorbeeld in de auto of trein meekijken hoe een reis verloopt of laat ze zelf een kaart van hun straat, huis en school maken. Het praten over dergelijke activiteiten is een nuttige kennismaking met wat je op een plattegrond kunt zien.
Afronden van getallen
Het leren afronden van getallen sluit aan bij de informele kennis die de leerlingen hebben over het globaal aangeven van aantallen en meetgetallen. In plaats van precieze getallen te gebruiken, zonder nullen aan het eind, worden dan ronde getallen gebruikt. Het gaat, voor wat betreft het getalgebied tot 1000, om getallen die worden afgerond op een tien-, honderd-, of eventueel een duizendtal.
Schattend optellen en aftrekken
Schattend optellen en aftrekken houdt in dat leerlingen opgaven zoals de volgende kunnen maken.
Je ziet op de getallenlijn voor het antwoord drie gebieden:
Geel: je moet je schatting verbeteren.
Lichtgroen: je mag verbeteren tot donkergroen, dat kost tijd maar kan wel punten opleveren als het je snel lukt.
Donkergroen: de schatting is goed.
Als je antwoord in het donkergroene gebied ligt, dan is je score: (10 - t) + 2*sombonus + tijdbonus. Handig om te weten is dat je tijdens het spel ook met de spatiebalk de volgende som kunt krijgen. Je hebt dan sneller je vingers bij de goede toetsen.