Onderzoeksopdracht: een gewichtig probleem
L'Hôpital
(1661-1704)
Markies de l'Hôpital was een wiskundige die leefde in de 17e eeuw. In 1696 publiceerde hij het boek 'Analyse des infiniment petits', dat als één van de eerste leerboeken in de analyse wordt beschouwd. De inhoud van dit boek is grotendeels niet door l'Hôpital zelf bedacht, maar door zijn leermeester Johann Bernoulli, die een veel groter wiskundige was. De (niet zo rijke) Bernoulli had met de kapitaalkrachtige Marquis een contract afgesloten, dat l'Hôpital het recht gaf om alle wiskundige ontdekkingen van Bernoulli te publiceren. Zo leeft de naam van l'Hôpital dus nog steeds voort in de zogenaamde stelling van l'Hôpital, die bedacht is door Bernoulli...
Het volgende probleem is afkomstig uit 'Analyse des infiniment petits'. Zoals je in het pakketje 'Differentiaal- en Integraalrekening' hebt gelezen, werd in die tijd de techniek van het differentiëren uitgevonden. Lang niet iedereen was direct overtuigd van het nut hiervan. Met het volgende probleem wilde l'Hôpital de kracht van de differentiaalrekening bij optimaliseringsproblemen duidelijk maken.
De probleemstelling is als volgt.
Aan een horizontaal opgestelde meetlat van 1 meter zit aan de linkerkant een touwtje van 40 cm lang. Aan het einde van het touwtje is een katrol bevestigd. Een gewicht zit aan het touw van 1 meter dat via de katrol verbonden is met het rechter eindpunt van de meetlat.
De vraag is nu, welke positie het katrol en het gewicht zullen innemen als het geheel in evenwicht is.
Bij dit optimaliseringsprobleem verwaarlozen we het gewicht van de katrol en de touwtjes ten opzichte van het gewicht van het blok. Uit de natuurkunde is bekend dat het blok de laagst mogelijk positie zal innemen.
-
Misschien is er in de klas een proefopstelling beschikbaar.
Als dat het geval is, bepaal dan experimenteel de rustpositie van het gewicht. Gebruik anders de simulatie hieronder. Verplaats de katrol om te zien waar het blok op haar laagste punt zit (gebruik het [X]-knopje rechtsonder om het scherm schoon te maken). -
Kies, net als l'Hôpital, AE = x.
Hoe kun je dit probleem met de grafische rekenmachine aanpakken? - L'Hôpital had natuurlijk geen grafische rekenmachine. Hij gebruikte dit probleem om de kracht van de differentiaalrekening aan te tonen. Doe dit hem na.
- Wat verandert er, als de lengte van het linker touwtje niet 0,4 m is maar a m?
-
Waarschijnlijk tot genoegen van l'Hôpital is het meetkundige bewijs nog een stukje moeilijker. Het volgende plaatje biedt enkele aanknopingspunten.
In een schematische tekening is de opstelling als volgt:
The above applet is a prototype of JavaSketchpad, a World-Wide-Web component of The Geometer's Sketchpad. Copyright ©1990-1997 by Key Curriculum Press, Inc. All rights reserved.