Generaliseren

Uit Wiki reken-wiskundeonderwijs

Ga naar: navigatie, zoeken

Home   All   A   B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M   N   O   P   Q   R   S   T   U   V   W   X   Y   Z   Categorieën               Vragen               Google-zoek               Pagina toevoegen       English       intern

Inhoud

Algemeen

Generaliseren is een wiskundige activiteit waarbij men na het doen van eerdere ontdekkingen rondom een probleem een structuur ziet of regelmaat herkent en op grond daarvan een algemener geldende uitspraak durft te doen over het probleem.

Abstraheren is een vorm van generaliseren. Door generaliseren wordt de klasse van objecten waarop een wiskundige uitspraak van toepassing is, uitgebreid.

Voorbeeld

Een voorbeeld is de uitbreiding van de verschillende getalverzamelingen: in groep 6 komen de breuken als nieuwe getallen tevoorschijn, aan het begin van het voortgezet onderwijs worden de negatieve getallen geïntroduceerd. Soms moeten bepaalde eigenschappen worden bijgesteld zoals het gegeven dat vermenigvuldigen als herhaald optellen gezien kan worden: 3 x 12 = 12 + 12 + 12, maar 1½ x 12 brengt niet snel die herhaalde optelling in beeld. Wel als je de commutatieve eigenschap toepast. De generalisatie is dat het vermenigvuldigen een bepaalde operatie is met de eigenschappen zoals het commutatief zijn.

Afbeelding:Waslijn.jpg

Er worden handdoeken met wasknijpers op de waslijn gehangen. Voor de eerste handdoek zijn twee wasknijpers nodig. Voor twee handdoeken heb ik drie wasknijpers nodig. Hang ik drie handdoeken op, dan heb ik vier wasknijpers nodig. Wanneer aan een kind de vraag wordt gesteld ‘Hoeveel wasknijpers zou je nodig hebben, wanneer je 15 handdoeken ophangt’ en het kind (zonder die handdoeken daadwerkelijk met wasknijpers op te hangen of er een uitgebreide schematische tekening van te maken) daarop antwoord: ’Dat zijn er 16; eentje meer dan 15!’, dan generaliseert dit kind de situatie.

Anekdote

Een hoogleraar wiskunde (vroeger), begon zijn eerstejaarscolleges altijd met een anekdote. Het gaat over een wijze en vooruitziende koning, die het beste voorheeft met zijn onderdanen, en die graag wil weten op hoeveel ziekenhuizen hij moet rekenen bij een groeiende bevolking. Hiertoe gaat hij te biecht bij zijn wiskundig adviseur en hij vraagt hem dit uit te rekenen. "Na een dag komt deze man opgetogen terug bij de koning en hij vertelt hem dat hij het begin van de oplossing gevonden heeft. Zijn computer rekende hem voor dat bij een bevolking van omvang nul er nul ziekenhuizen nodig zijn. Dat de premisse van zijn onderzoek niet geheel strookt met de werkelijkheid deert hem in het geheel niet, want, zo vertelt hij: 'wiskunde is het abstraheren van de werkelijkheid'. Als de koning hem vraagt een meer realistische oplossing te bedenken, gaat hij welgemoed aan de slag. Binnen een dag heeft hij een nieuwe uitkomst uit de hoge hoed van zijn pc getoverd. Met een trots gezicht vertelt hij de koning zijn oplossing: bij een oneindig aantal mensen is een oneindig aantal ziekenhuizen nodig. Als het gelaat van de koning betrekt, reageert de wiskundige als volgt: 'Sire, de diepe betekenis van de wiskunde ligt in haar vermogen te generaliseren. Niet om echte problemen op te lossen. Maar, als u een honderd procent valide antwoord wilt hebben op uw vraag, dan kan ik u verzekeren dat het aantal ziekenhuizen dat gebouwd moet worden voor een groeiende bevolking zal liggen tussen nul en oneindig'".

Verwijzingen

Versies van dit document

Persoonlijke instellingen
GOOGLE