Meetkunde

De rechte hoek, de cirkel en Pythagoras

1.

Start het programma geometrucs.

Hiervoor zijn de volgende handelingen noodzakelijk.

Belangrijk: Met de rechter-muisknop stop je steeds een onderdeel.

2.

Kies O-object: Punt
Plaats dit punt op het scherm met linker-muisknop en noem het A door:
ga naar letter A, dan linker-muisknop
terug naar het gekozen punt en nogmaals linker-muisknop.
Doe hetzelfde voor punt B.
Let op: Rechtsonder in het scherm staan aanwijzingen.
Foutjes herstel je met: Overige --> Oops! - herstel

3.

Kies A-object: Lijnstuk (2 punten).
Klik op A en B en noem dit lijnstuk `naamloos'.

4.

Kies A-object: Midden.
Klik A en B aan en noem dit punt M.

5.

Kies A-object: Cirkel (mpunt, punt).
Klik M en daarna A aan en noem de cirkel `naamloos'.

6.

Kies O-object: Punt.
Plaats dit punt op de cirkel en noem het P.

7.

Kies A-object: Lijnstuk (2 punten).
Klik op A en P en noem dit lijnstuk naamloos.
Klik op B en P en noem dit lijnstuk naamloos.

We willen weten hoe groot hoek APB is en hoe deze hoek verandert als P over de cirkel beweegt.

8.

Schat eerst de grootte van hoek APB in figuur 1 op deze bladzijde.
Doe dit ook voor figuur 2.

9.

Hoeveel graden is deze hoek op jouw scherm?

We gaan nu punt P verplaatsen op de cirkel. De computer houdt steeds bij hoe groot hoek APB is.

10.

Kies Bepaal : Hoek (3 punten).
Klik achtereenvolgens A, P en B.
De grootte van hoek APB komt linksonder in beeld.

11.

Kies Verplaats 0-punt op cirkel.
Klik cirkel en punt P aan.
Beweeg P over de cirkel.

12.

Wat gebeurt er met de grootte van hoek APB als je P verplaatst?

13.

Hoe kun je dit verschijnsel verklaren?

We gaan nu kijken wat er gebeurt als we P over een rechte lijn verplaatsen.

14.

Maak nu eerst het scherm schoon door: Kies Overige -> Schoon Scherm

15.

Hiervoor zijn de volgende handelingen noodzakelijk:

• Kies Assen -- Teken assen.
• Kies O-object -- Roosterpunt.
  Plaats op (10, 0) A; B op (10, 4); C op (0, 4) en O op (0, 0).
• Kies A-object -- Lijnstuk.
  Klik AB en BC (naamloos).
  
  Nu zetten we punt P op lijnstuk BC.
  
• Kies O-object -- Punt.
  Plaats een punt op lijnstuk BC en noem het P.
• Kies A-object -- Lijnstuk.
  Klik OP en AP (naamloos).

16.

Zal hoek OPA constant blijven als P over lijnstuk BC beweegt?

• Kies Bepaal -- Hoek (3 punten).
  Klik achtereenvolgens O, P en A.
  De grootte van hoek OPA komt linksonder in beeld.
• Kies Verplaats -- 0-punt op lijn.
  Klik lijnstuk BC en punt P aan.
  Beweeg P over lijnstuk BC.
  

17.

Wanneer is hoek OPA het grootst? Kun je dat verklaren?

18.

Lees van het scherm hoe lang CP is als hoek OPA = 90 °.
Let op. Er zijn twee mogelijkheden.

We gaan nu proberen de antwoorden van vraag 18 te vinden met behulp van een cirkel (denk aan de vorige opgaven), dus zonder de hoek te laten uitrekenen door de computer.

19.

Teken de benodigde cirkel in deze figuur.
Klopt je antwoord nu met vraag 18?

Er is nog een manier om dit probleem op te lossen, zonder computer en wel met de stelling van Pythagoras.

20.

Stel de lengte van CP gelijk aan x.
Dan is BP gelijk aan 10 - x:


Als hoek OPA een rechte hoek is dan moet in driehoek OPA ook Pythagoras gelden.
Daarvoor hebben we eerst de lengtes van OP en AP nodig.
Pas de stelling van Pythagoras toe in driehoek OPC.

Je krijgt dan OP ² = . . . . . .

In driehoek ABP krijg je dan AP ² = . . . . . . .

Pas nu de stelling van Pythagoras toe in driehoek OPA.
Welke vergelijking krijg je? Zijn de antwoorden van vraag 18 oplossingen van deze vergelijking?

Generated with CERN WebMaker