Doolhof
Een ingedikte leerlijn geeft een beschrijving van kenmerkende leermomenten en bijbehorende activiteiten. Hiermee hebben consulenten en leerkrachten (en ouders) overzicht op de cruciale leermomenten voor het rekenen. Dat overzicht helpt bij het maken van keuzes ten aanzien van de leerstof voor langdurig zieke kinderen. De leerlijnen worden gepubliceerd op de internet site Webschool. Ruim gesteld bedoelen we met een leerlijn een beschrijving van het onderwijs en de leerprocessen die kinderen in grote lijnen voor het vak rekenen-wiskunde op de basisschool doorlopen. Natuurlijk verlopen de leerprocessen complex en bij individuele kinderen vaak weer verschillend, maar toch is het nuttig en mogelijk om globaal lijnen aan te geven die kenmerkend zijn voor het leren van de meeste leerlingen. Bij die leerlijnen horen kerntaken en leerervaringen die als het ware de scharnierpunten (of cruciale leermomenten) in een leerproces vormen, en die in principe van betekenis zijn voor alle leerlingen. De kerntaken zouden die cruciale ervaringen moeten oproepen.
De vier leerlijnen die we beschrijven voor groep 3 zijn:
1. Tellen en getalbeelden,
2. Rekenen tot 20,
3. Start met getalverkenning tot 100, en
4. Meten en meetkunde.
Deze leerlijnbeschrijvingen en de kerntaken zijn gebaseerd op resultaten van de projecten RekenWeb, Speciaal Rekenen en TAL.
In deze leerlijn wijzen we in de eerste plaats op het belang van het betekenis geven aan getallen.
Getallen komen in allerlei alledaagse situaties. Zo kan het getal 'zeven' verwijzen naar de leeftijd van een klasgenoot, naar het aantal dagen in een week, naar de tijd van 7 uur op de klok, naar 'zeven zoete zuurtjes in een fles', naar een worp van 7 met twee dobbelstenen
Door bijvoorbeeld Telliedjes krijgen getallen een gezicht. Het aanbieden van een dergelijke activiteit is altijd zinvol.
Een belangrijke stap in deze leerlijn is die van het tellen van ongestructureerde hoeveelheden naar het gebruiken van structureren van getallen. Het aanvankelijk rekenonderwijs begint bij tellende (vinger)rekenen, omdat dit aansluit op de informele rekenmanier van kinderen. Echter, tellend rekenen is tijdrovend. Het gebruik van bijvoorbeeld de vijfstructuur helpt bij het rekenen. De vingers bieden een mooi aanknopingspunt om de kinderen bewust te maken van het gestructuureerd tellen van hoeveelheden, zie bijvoorbeeld 6 als een volle hand en nog 1 vinger (5 en 1), 8 als een volle hand en nog 3 (5 en 3).
Ontdekking van de structuur in getallen maakt het voor kinderen mogelijk het tellende rekenen te overwinnen. Getallen tot twintig worden in hoofdzaak op drie wijzen met modellen voorgesteld: met een lijnmodel, een groepjesmodel en het rekenrek.
De kralenketting met een vijfstructuur wordt meestal gebruikt voor het lijnmodel. Leerlingen leren daarmee om getallen globaal te positioneren op een (steeds minder gestructureerde) getallenlijn tot twintig. In samenhang hiermee moeten leerlingen getallen tot twintig ook vlot naar grootte kunnen ordenen, en de naaste buren van deze getallen kunnen benoemen.
Het groepjesmodel speelt een rol bij het overzichtelijk samenstellen of ontleden van aantallen tot twintig. Voorbeelden daarvan zijn het turven en het weergeven met behulp van de vingers. In eerste instantie zijn groepjes van losse objecten nog telbaar, net zo goed als een bedrag met losse euro's wordt neergelegd. Wanneer losse euro's worden ingeruild voor een briefje van vijf of tien is geld een abstracter groepjesmodel geworden waarin de losse objecten niet meer telbaar zijn. Zo'n overgang van telbare representaties of voorstellingen naar niet-telbare voorstellingen die de behoefte aan een structurering oproepen, is een belangrijk leermoment. Activiteit Tellen van ongestructureerde hoeveelheden speelt hierbij een rol.
Op het Rekenrek kunnen getallen via vijven en tienen en met dubbelen worden afgebeeld.
Met de dubbelbeelden en vijfbeelden van de getallen tot tien zijn alle moeilijke splitsingen voorstelbaar te maken. In de activiteit Getalbeelden komen deze getalbeelden en de relatie met het structureren van groepjes aan de orde.
Leerlingen oefenen in het koppelen van een cijfersymbool aan een hoeveelheid. Afhankelijk van de ervaring die kinderen hebben met het werken met concrete cijferdoosjes wordt heeft deze activiteit een introductie nodig. De leerlingen moeten in ieder geval bekend zijn met het principe dat op het deksel van het doosjes staat hoeveel knikkers erin zitten. Laat de kinderen nadenken over de vraag hoe je erachter kunt komen hoeveel knikkers erin een doosje zitten. De strategie van het één voor één tellen ligt voor de hand. Sommige hoeveelheden kun je echter in een keer zien, zonder te tellen. Welke zijn dat?
Vraag de kinderen wat het tellen van de knikkers zou vergemakkelijken. Misschien komen zij op het idee dat wanneer de knikkers in een zekere structuur zouden liggen, sneller kan worden vastgesteld om hoeveel knikkers het gaat. Verder kan het wenselijk zijn vooraf even de cijfersymbolen te oefenen, zodat ze tijdens de activiteit kunnen worden herkend.
Een deksel kan op elk doosje worden gelegd, ook als het cijfersymbool en de hoeveelheid knikkers niet corresponderen. Aan het einde van de activiteit kun je dus een doosje met een verkeerd deksel overhouden. Je kunt de deksels dan nog even optillen om te controleren of voor het juiste cijfer is gekozen.
De cijfersymbolen geven dus informatie over een hoeveelheid die niet zichtbaar of telbaar is. Kinderen kunnen deze functie van cijfersymbolen ontdekken als u hen tijdens de activiteit vraagt hoeveel knikkers er in een doosje zitten waarop al een
deksel ligt. Belangrijk is om vervolgens met de leerling te controleren of het juist is door het deksel even op te lichten.
Een ander voorbeeld van een activiteit rond het tellen van ongestructureerde hoeveelheden is het acquarium van Maatwerk.
Leerlingen zoeken naar een samenstelling van twee doosjes die hetzelfde aantal knikkers oplevert als het doosje knikkers dat op de andere zijde van de balans staat. Met andere woorden, in deze activiteit oefenen de leerlingen de splitsingen van getallen onder tien, uitgezonderd de dubbelen zoals '6 is 3 en 3' en '10 is 5 en 5'. Er zijn namelijk nooit twee doosjes met hetzelfde getal beschikbaar om op de balans te zetten.
Voor het werken met deze activiteit is het van belang dat leerlingen weten dat de zijden van de balans even zwaar zijn als aan elke kant even veel knikkers liggen. Het gegeven dat in een reële situatie ook het doosje gewicht heeft - en de kant met twee doosjes daardoor zwaarder zal zijn - is met het oog op de transparantie van de activiteit verwaarloosd. De nadruk ligt op het gewicht van de knikkers. Zeg indien nodig tegen de kinderen dat de doosjes bijna geen gewicht hebben.Didactische aanwijzingen
Getallen kunnen op verschillende manieren worden gestructureerd (lees: gesplitst of samengesteld). Neem bijvoorbeeld het getal 8. Dat kun je splitsen in 7 en 1, in 6 en 2, in 5 en 3, maar ook in 4 en 4. Dit laatste paar met dubbelen wordt in deze activiteit niet geoefend, omdat geen twee doosjes met hetzelfde getal beschikbaar zijn.
Leerlingen oefenen in het leren herkennen van hoeveelheden in enkele typische structuren en samenstellingen. Het gaat om vingerbeelden tot 10 en rekenrekbeelden in twee niveaus: t/m 10 en t/m 20.
Bij de opgaven van
Flitsbeelden
moeten kinderen optellen, want dat er vijf vingers op de ene hand staan en vier op de andere, dat zien ze in één oogopslag, maar tijd om gewoon te tellen krijgen ze niet. Hetzelfde geldt voor de andere situaties. Kinderen krijgen 10 opgaven die ze binnen een zelf in te stellen tijd moeten maken.
Bij het rekenen tot 20 spelen de getallen 5 en 10 een belangrijke rol. Vandaar dat eierdozen, rekenrek en vingerbeelden veel gebruikt worden in het onderwijs.
Bij de opgaven van
Flitsbeelden
moeten kinderen optellen, want dat er vijf vingers op de ene hand staan en vier op de andere, dat zien ze in één oogopslag, maar tijd om gewoon te tellen krijgen ze niet. Hetzelfde geldt voor de andere situaties. Kinderen kunnen ook kiezen voor de variant waarbij ze 10 opgaven binnen een gegeven tijd moeten maken.
Bij het rekenen tot 20 spelen de getallen 5 en 10 een belangrijke rol. Vandaar dat in het onderwijs veel gebruik wordt gemaakt van dobbelstenen, eierdozen, rekenrek en vingerbeelden.
Leerlingen gebruiken cijfersymbolen bij het tellen van steeds grotere hoeveelheden. Deze activiteit is bedoeld om leerlingen te stimuleren bij het gebruiken van groepjes van 5 voor het tellen van alle appels die van de boom gevallen zijn. Bij het bepalen van de hoeveelheid appels kan namelijk gebruik worden gemaakt van het structureren met de zakken. Het is de bedoeling dat kinderen ontdekken dat het handig is om in iedere zak vijf appels te doen. Daarmee wordt de vijf-structuur een middel om alle appels te tellen.
Het rekenen tot 20 richt zich op de overgang van tellend rekenen naar het gebruik van getalstructuren en op de ontwikkeling van de bijbehorende rekentaal.
Voor het leren gebruiken van getalstructuren bij het rekenen kan goed gebruik worden gemaakt van het rekenrek. Leerlingen manipuleren dan eerst met de kralenvoor 6 erbij 7 kan men eerst beide getallen opzetten. Het rekenrek richt vervolgens de leerling op het gebruik van de vijfstructuur (5+5+1+2) of op het gebruik van dubbelen (6+6+1) (zie de activiteit Splitsen). Het is de bedoeling dat kinderen steeds minder manipuleren met kralen en steeds meer proberen in gedachten met de getallen opereren. Ten slotte is het rekenrek helemaal uit het zicht. Ze rekenen dan met behulp van getalrelaties.
In dit proces van loskomen van het rekenrek speelt het verwoorden van de (gedachte) rekenhandelingen een essentiële rol. Door te vertellen wat je doet, ziet of denkt, reflecteer je op je (mentale) handelen en stijg je uit boven de concrete uitvoering ervan.
Naast het gebruik van getalstructuren wordt de geschreven rekentaal ontwikkeld. In contextsituaties (zoals in de activiteit Pijlentaal) komt in eerste instantie een pijlentaal voor de operaties naar voren. Uit deze pijlentaal wordt de sommentaal ontwikkeld en verplaatst de schrijfwijze zich steeds meer naar het formele rekenen.
De leerlijn wordt afgesloten met een activiteit rond geldrekenen.
(Zie Tal tussendoel 6)
Leerlingen oefenen de telrij tot 20 door heen en terug te tellen vanaf een gegeven getal.
Dit is een variant van een eerdere taak met cijferdoosjes. Nu heb je de mogelijkheid om de knikkers in rijtjes van vijf te leggen. Leerlingen oefenen zo in het koppelen van een cijfersymbool aan een gestructureerde hoeveelheid.
Een deksel kan op elk doosje worden gelegd, ook als het cijfersymbool en de hoeveelheid knikkers niet corresponderen. Aan het einde van de activiteit kun je dus een doosje met een verkeerd deksel overhouden. Je kunt de deksels dan nog even optillen om te controleren of voor het juiste cijfer is gekozen.
Met het rekenrek kan bij het opzetten van een hoeveelheid handig gebruik worden gemaakt van de vijfstructuur die met de rode en witte kralen is gegeven. De kinderen worden gestimuleerd om dit te gebruiken bij het opzetten van de aantallen kralen. De kralen hoeven dus niet één voor één geteld te worden, maar kunnen in één oogopslag herkend worden. Bijvoorbeeld vijf rode en twee witte kralen is samen zeven kralen.
Leerlingen maken nader kennis met 'erbij' en 'eraf' en met de tekens + en - . Als introductie op de bussommen kan het busverhaal met de kinderen worden gespeeld: er zitten kinderen in de bus; bij een halte kunnen er kinderen in- of uitstappen. Dit staat ook in de rekenmethodes beschreven.
Wanneer de kinderen aan de slag gaan met de bussommen op de computer is het de bedoeling dat deze eerst worden toegelicht. Bijvoorbeeld +3 bij de bushalte, betekent 'drie erbij' of 'drie instappen' en -2 bij de bushalte betekent 'twee eraf' of 'twee uitstappen'.