Het publiceren van de samenvattingen van alle artikelen
in alle jaargangen, samen met de mogelijkheid om daarin te kunnen zoeken,
zou een goede mogelijkheid voor een Web-versie van de Wiskrant kunnen zijn.
En af en toe een compleet artikel, als smaakmaker. Zoals dit bijvoorbeeld.
De Applets in deze aflevering zijn bijzonder omdat ze
afstammen van een meetkundig constructieprogramma. Dit soort toepassingen
werd eerder besproken door Aad Goddijn
(zie artikel Goddijn, A, 1998). Cabri kwam al ter sprake in de vorige
Wurl, in deze speelt The Geometer's Sketchpad
(zie The Geometer's Sketchpad) een rol.
Constructieprogramma's
Het aardige van constructies met een programma als Sketchpad
is dat je ze interactief kunt maken teneinde er `alle' gevallen van een
constructie mee te kunnen onderzoeken. Neem figuur 1 als voorbeeld (pas op: druk niet op het vraagteken in de figuur!).
fig. 1 Vouwlijnconstructie
De constructie bestaat uit een cirkel en twee punten. Ook is er een
vouwlijn die ontstaat als je het vlak zo vouwt dat het ene punt op het
andere terechtkomt. Grofweg maak je hem als volgt.
-
Bestel een cirkel met een punt daarop dat later over de cirkel mag worden
bewogen.
-
Bestel een knopje met opschrift `Vouwen', dat na een klik erop een tocht
van het punt over de cirkel als animatie vertoont.
-
Bestel een ander, later vrij te bewegen punt.
-
Bestel de vouwlijn als middelloodlijn van de (niet getekende) verbinding
tussen de twee punten.
Wat ontstaat, is iets als figuur 1. Door het punt-op-de-cirkel
over de cirkel te trekken, ontstaat een waaier van gaandeweg bijgetekende
vouwlijnen. Door op `Vouwen' te klikken, volgt de beloofde animatie met
als effect dat `alle' vouwlijnen in beeld komen. Vraagstuk kan zijn: welke
figuur omhullen de vouwlijnen? En: wat gebeurt er met de omhulling als
het andere punt op de cirkel of juist er buiten wordt gesleept?
Sketchpad baart levende Web Wurl
Gastauteur Michiel Doorman ontdekte dat er voor Sketchpad
een (nu nog) gratis hulpprogramma Java-Sketchpad bestaat, waarmee een Applet
van een constructie kan worden gemaakt.
Alles wat met een `moederconstructie' binnen Sketchpad
mogelijk is, kan ook met de gebaarde Applet, die vervolgens op het Web
kan worden gepubliceerd. In deze Web Wurl wordt daarvan gebruik gemaakt.
In de papieren versie kan slechts naar de startfiguur
van een constructie worden gekeken. Op het Web komen de interactieve mogelijkheden
van de constructie als Applet weer tot leven. De figuur is daar de Applet,
waardoor je ermee aan de slag kunt. Probeer het eens uit - desnoods in
een Internet café.
Kunnen grote toepassingen zoals Cabri en Sketchpad als
Applet via het Web tot ons komen? Technisch wel, maar in de vorige Wurl
(zie Hermsen, H, 1998). werd gewezen op nu nog geldende praktische
beperkingen.
Met de figuren van dit artikel is iets heel anders aan
de hand: niet Sketchpad zelf staat als logge Applet op het Web, maar slechts
ermee gemaakte constructies die met één druk op de knop te
verheffen zijn tot kleine Applets. Een mooi compromis.
Nog twee, omdat het zo leuk is
Figuur 2 vertoont een van origine Sketchpadconstructie,
waarin de middelloodlijnen van een driehoek en de omgeschreven cirkel een
rol spelen.
fig. 2 De omgeschreven cirkel
De middelloodlijn van zijde AC is er al. Door op daarvoor bedoelde
knoppen te drukken, kunnen die van AB en BC worden nabesteld. (Voor beginners:
snijden ze elkaar altijd in één punt; zo ja welk en waarom?)
De hoekpunten van de driehoek kunnen naar believen worden verplaatst. Aangebrachte
middelloodlijnen en de ook aanwezige omgeschreven cirkel bewegen daarbij
braaf volgens de constructieregels mee.
Probeer een plaats voor C te vinden zodat M op AB ligt.
Zijn er meer van die plaatsen? Welke figuur vormen ze?
Het laatste voorbeeld in figuur 3 laat zien hoe je zo'n
Applet kunt gebruiken bij een onderzoeksopdracht, waarover eerder in de
Nieuwe Wiskrant werd gepubliceerd (oorspronkelijk door Jan van Maanen en
later door Paul Drijvers
(zie Drijvers,
P, 1997)Aan het linker uiteinde van een horizontaal balkje hangt
een touwtje met een katrol. Aan het rechter een langer touw dat door de
katrol loopt. Ze staan strak door een gewicht aan het lange touw. De katrol
kan worden verplaatst. Het gewicht laat daarbij een spoor na.
fig. 3 Een simulatie bij een opgave van Markies de l'Hopital
De constructie spot met de natuurkundewetten. Elke positie van de katrol
is stabiel. In werkelijkheid is dat pas zo als het gewicht op het laagste
punt tot stilstand is gekomen. Maar hoe zit dit alles meetkundig in elkaar?
De volledige tekst van deze onderzoeksopdracht, inclusief
de Applet, is te vinden op het wisweb.
Han Hermsen, han@fi.uu.nl
Michiel Doorman, michiel@fi.uu.nl
-
Zie artikel Goddijn, A.
(1998). `Construeren met button en muis', Nieuwe Wiskrant 17(3) 45-49.
-
The Geometer's Sketchpad
is een product van Key Curriculum Press. Het is mogelijk om een zichtexemplaar
aan te vragen voor 30 dagen.
-
Hermsen, H. (1998). `W
url s 4: Hoe lang duurt een (twin) Java Applet?', Nieuwe Wiskrant 18(1)
45-46.
-
Drijvers, P. (1997). `Oude
wiskunde en nieuwe technologie', Nieuwe Wiskrant 16(3) 49-53.