Thema wiskunde en architectuur

Zijn architecten kunstenaars of ambachtslieden? In elk geval worden ze geacht in hun bouwwerken het nuttige en het aangename met elkaar te verenigen. En omdat architectonische objecten nu eenmaal altijd ruimtelijk zijn, komt daar heel wat meetkunde bij kijken. Wie kent niet de Rotterdamse kubushuizen van Blom, die trouwens ook al tot de meeste wiskundeschoolboeken zijn doorgedrongen?

Over eenvoudige vormen als cirkels en vierkanten in de architectuur is al heel veel te vertellen. Maar ook de vijfhoek is een geliefde vorm en een centraal element bij bijvoorbeeld het hoofdkantoor van de Gasunie in Groningen.Van de vijfhoek is het een kleine stap naar de Gulden Snede, en daarmee naar bijzondere verhoudingen in de architectuur.

Bolle vormen stellen architecten voor speciale problemen. Bolvormige koepels zijn in de architectuur opgebouwd uit kleine driehoekjes. Achter deze zogenaamde geodetische koepels, zoals bijvoorbeeld het luchtvaartmuseum op Schiphol, gaat interessante wiskunde schuil, waaronder de beroemde formule van Euler.

Wetmatigheid: keurslijf of vrijheid?

Liesbeth van der Pol

Atelier Zeinstra van der Pol, Amsterdam

Vrijdag 13.30-14.15 uur

In de geschiedenis van de architectuur neemt wiskunde een belangrijke plaats in. In de gothiek werd schoonheid bepaald door geometrie, de zogenaamde vormverhouding, terwijl in de Renassaince de getalsmatige verhoudingen bepalend waren.

In onze eeuw hebben architecten getracht zich los te maken van al deze wetmatigheden, wat op zich weer geleid heeft tot nieuwe wetmatigheden. Neem Le Corbusier met zijn de Modulor en uit ons eigen land Dom van der Laan met het plastisch getal. In de tweede helft van deze eeuw ontstaat er een fascinatie voor dynamische vormen. Er wordt gezocht naar architectuur die als een bewegend ding te lezen is, in plaats van als statische optelsom van verhoudingen.

Echter, in menig werk van een architect wordt de grootste vrijheid van ontwerpen pas bereikt, wanneer die dyanamische vorm weer te vangen is in een wetmatigheid.

Over verhoudingen in de architectuur

H.J. van der Laan

Architect, 's Hertogenbosch

Vrijdag 15.45-16.45 uur

Architectuur is een der oudste vormen van toegepaste wiskunde. Dat gaat van het simpele afpassen, het overbrengen van het ontwerp op het maagdelijk terrein tot de geavanceerde statische en bouwfysische rekentechnieken en computersimulaties van onze tijd. Ook de samenwerking tussen de bouwers in gebaseerd op vaste afspraken over maat en getal. De wiskunde speelt bij dit alles een dienende rol.

De oude Grieken, met hun wetenschappelijke nieuwsgierigheid, maten hun muziekinstrumenten op, dat wil zeggen de klinkende lengtes van de snaren en pijpen. De relatieve hoogtes van de in hun muziek gebruikte tonen, de onderlinge verhoudingen der trillingsgetallen, bleken overeen te stemmen met eenvoudige getalsverhoudingen. Bovendien `produceerden' de dominante tonen van hun toonladders wiskunde: telkundige, meetkundige en harmonische middens, de gezochte `harmonie der sferen'.
Dit was een ontdekking, een succesvolle verbinding tussen esthetica en wiskunde, tussen het subjectieve, bij uitstek door de muziek vertolkt, en de objectiviteit van getallen. Dat verleidde de architecten van de Renaissance ertoe om de intervallen van de muziek rechtstreeks over te planten naar hun vakgebied en toe te passen in hun bouwwerken.

In de recente architectuurgeschiedenis introduceert de befaamde architect Le Corbusier een verhoudingssysteem dat is gebaseerd op de bekende `gulden snede'. Deze verhouding, welke hier en daar in de natuur wordt aangetroffen, is ook favoriet bij antroposofisch georiënteerde architecten.
De kern van de architectuurtheorie van Dom H. van der Laan, monnik en architect (overleden in 1991) wordt gevormd door het zogenoemde `plastische getal', in concreto een reeks van vier, in de architectuur aan te wenden, maatstelsels. Deze fundamentele studie onderzoekt de algemene voorwaarden waaraan onze bouwsels dienen te voldoen, willen zij goed functioneren in de omgang van ons met de omringende wereld.
Behalve dat de afmetingen in de architectuur afgestemd worden op onze lichamelijke behoefte aan kleinere en grotere ruimtes, stelt een architect daarmee ook de optredende vormen vast die we waarnemen en al of niet mooi vinden. Bovendien gaan deze maten voor onze ogen een onderling spel van verhoudingen met elkaar aan.
Wil architectuur in dit opzicht `werken', dan worden ook aan deze verhoudingen en de wijze van toepassing zekere condities gesteld.

Geodetische Koepels

Martin Kindt

Freudenthal instituut, Universiteit Utrecht

Zaterdag 9.00-9.45 uur

Stel je voor een regelmatig twintigvlak (icosaëder) met omgeschreven bol.
Een vlak door het middelpunt van de bol en een ribbe van het veelvlak snijdt het boloppervlak volgens een geodetisch boogje dat twee hoekpunten van het veelvlak verbindt. Op deze wijze kun je 30 boogjes maken, evenveel als er ribben zijn aan de icosaëder.
Die 30 boogjes vormen als het ware een geraamte van de bol. Zo'n geraamte van driehoekjes noemt men een geodetische koepel of een geode. In het spraakgebruik veroorloven we ons enige slordigheid: ook het veelvlak waarvan de ribben de koorden zijn bij de geodetische boogjes wordt een geode genoemd. De Amerikaanse architect Richard Buckminster Fuller ontwierp gebouwen als delen van bollen en gebruikte daarbij de geode-structuur. Voor zijn beroemde prototype gebruikte hij de structuur van een veelvlak met 3840 driehoekige zijden. Een van de beroemdste geodetische koepels staat te Montreal en is destijds gebouwd voor de wereldtentoonstelling.

De structuur van geodes hangt ten nauwste samen met molecuulstructuren die thans in de scheikunde worden bestudeerd (Nobelprijs 1996!), de zogenaamde `buckey balls' of `fullerenen', waarvan het eenvoudigste voorbeeld de voetbal is met zijn vijf- en zeshoekige zijden. Die voetbalstructuur, een archimedisch veelvlak, is bijvoorbeeld te vinden in het werk van Albrecht Dürer.

De wiskundige achtergrond van geodes en fullerenen is niet moeilijk te begrijpen en zou in de bovenbouw van havo of vwo kunnen worden behandeld. Met wat combinatoriek, de formule van Euler en de cosinusregel kom je al een heel eind. Bovendien is er op de educatieve markt materiaal te koop, waarmee leerling zelf modellen kan bouwen. De classificatie van alle mogelijkheden levert aardige resultaten. Die resultaten zijn te bewonderen in het echte leven, zowel in groot formaat (de geodetische bouwwerken) als in de micro-architectuur (moleculen, virussen).

Getal en ruimte: de tekentafel van de antieke architect

Herman Geertman

Archeologisch Centrum, Universiteit Leiden

Zaterdag 10.00-10.45 uur

De titel `Getal en ruimte' is ontleend aan een vwo-methode die de rekenkunde in één leergang bijeenbrengt: in zekere zin een terugkeer naar de uitganssituatie van de Griekse en Hellenistische wiskunde.

De ondertitel legt een verband met de fase van het ontwerpen in de Griekse en Romeinse bouwkunst: de `ruimte' is door het bouwwerk aangepaste en herschapen ruimte; het `getal' staat voor de maten die vorm en samenhang van de bouwdelen bepalen.

Maar er is ook een onmiddellijk verband tussen de wiskundige titel en de architecturale ondertitel. Zowel uit antieke getuigenissen in geschriften als uit metrologische analyses van de antieke gebouwen blijkt dat de antieke bouwmeesters aan hun ontwerpende arbeid een wiskundige grondslag gaven. De achterliggende gedachte was dat de microkosmos van het bouwwerk of de gebouwde omgeving moest beantwoorden aan de wetten die de macrokosmos beheersen. De macrokosmos laat zich langs wiskundige weg definiëren. Op dezelfde wijze moeten de lijnen, vlakken, vormen en proporties van de gebouwde omgeving tot in details wiskundig zijn bepaald.

Deze achtergrond van de antieke bouwkunst is geen statisch gegeven maar een dynamisch proces parallel aan de ontwikkeling van de antieke wiskunde. Zo ontmoeten we rationale getalsmatige proportiestelsels zolang de Pythagoraeïsche wiskunde bepalend is, en ontstaan in de 4de eeuw vóór Christus irrationale zuiver meetkundige ontwerpmodellen.

In mijn lezing zal ik tegen deze achtergrond ingaan op het archeologisch onderzoek van antieke ontwerpsystemen.

Ontwerpschema van de plattegrond van een atriumhuis in Pompeii (Casa dei Vetti). Maten in oskische voeten (ca. 27,5 cm). M = modulus of basismaat, in casu de breedte van het atrium.




E-mail naar NWD
Copyright © 1997, Freudenthal instituut. All rights reserved.